失業保険をもらうには離職者を持って公共職業安定所へ手続きにいかなくてはなりません。自己都合扱いの場合は待機期間７日に三ヶ月後からの支給になります。

今年3月末に自己都合により退職し、現在フリーターです。離職票が手元に届いたら失業保険を申請する予定でいますが、離職票が届くまで期間にアルバイトしても問題ないでしょうか？
昔のアルバイト先で人手が足りないそうで、「経験者だと助かるから、すぐにでも来てほしい」と言われています。
勤務時間も就職活動と並行して行えるくらいの時間数なので、非常にありがたい話なのですが、失業保険を申請する予定でいるので後々問題にならないか不安です。

問題ありません。
但し、離職票が届きハローワークへ申請に行かれてから７日間は待機期間と言うものがあり、完全失業状態を求められます。
自己都合による離職の場合は待機期間後に３ヶ月の給付制限期間が付きます、給付制限期間中及び給付中は一定時間・日数以内の就労であれば可能です（時間・日数はハローワークごとに基準に差がありますので当該ハローワークでご確認ください）

退職後、結婚による転居という理由で失業保険を待機なしで受給したいと考えてます。
入籍は10/4で東京と静岡で別居してます。2月13日に現職を退職し21日に東京へ引っ越しますが、待機なしで受給する事は可能ですか？
会社への退職届は「結婚」を理由に退職と明記し、提出済ですが、入籍してからかなりたつので期限の決まりとかがあれば教えて頂ければと思います。

結婚して通勤時間が2時間以上かかるため離職した場合は
、正当な理由のある自己の都合によ離職したものに該当します、
これは給付制限がありません
ただしこれには、雇用保険に加入していた期間が6ヶ月以上、
1年未満の場合という条件がついてます、
従って貴方の離職前の加入期間がこの条件を満たしていれば
給付制限は外されて支給されます
これは特定受給資格者ではありませんから所定給付日数は90日です

派遣で２年以上、６ヶ月更新、３ヶ月更新などを繰り返してインターネットの販売営業をしてきましたが、次の更新がないということで今月いっぱいで首となります。派遣元が違うところを紹介するといっているのですが、
絶対ではないみたいですし、今より日給が下がることや勤務先が遠くなる（勤務先までは自腹）ので、できれば失業保険をもらいながら仕事を探したいと思っています。この状況の場合何ヶ月後から失業保険がもらえるのでしょうか。また、勤務先が遠いため断るということ、もしくは日給が低くなるので断るということは自発的に辞めたという扱いになるのでしょうか？できるだけ失業保険を早くもらうには、私はどういう行動をとればいいのでしょうか？

派遣元にもよりますが最近の大手派遣会社は契約満了日までに次の仕事に就いていなければ会社都合で離職票がでる傾向があります。私の知る限り次に紹介された仕事を断る事で自己都合にはならないです。但し派遣元によって様々なので確認が必要です。

失業保険をもらうには離職者を持って公共職業安定所へ手続きにいかなくてはなりません。

離職票が会社からでるのは派遣の場合離職日から20日ほどかかります。まずは離職票がないといけないので派遣元にいつ頃離職票がもらえるかを確認するといいと思います。

失業保険ですが会社都合の場合は失業保険の手続き後、待機期間７日を経て支給があります。自己都合扱いの場合は待機期間７日に三ヶ月後からの支給になります。