病気を理由に会社を退職し、失業保険をもらっています。就職祝金と言う名称の手当は存在しません。

失業保険、以下の理由だと「正当な理由」となりますか？
現職を退職し、失業保険で給付を受給しようと思っていますが、
現職では「試用期間中は時間外手当を支払いません」と言われたので、
それに納得できず、辞めようと思っています。
ちなみに、雇用契約書は交わしていませんし、
入社時には、試用期間中の月給額を口頭で言われただけで、
「試用期間中は時間外手当を支払いません」とは
一言も言われていません。
給与明細を見て、時間外について何もなく、愕然としました。
「自己都合離職」の場合、「正当な理由」がない場合は3ヶ月間は
給付制限がかかり受給できない、とのことですが、
上記の理由では、給付制限がかかる事由になってしまうのでしょうか？
ご存知の方がおられましたら、教えて下さい。
よろしくお願い致します。

まず、最初に確認ですが、雇用保険受給資格がありますか？

試用期間とありますが、雇用保険被保険者期間が1年以上（会社都合による離職の場合は6ヶ月以上）ありますか？
被保険者期間が不足していれば、受給は出来ませんので、離職理由がどうとかの判断は不要です。

次に時間外労働についてですが、時間外労働分の賃金は請求が出来ます、但し、勤務が変則勤務時間制等の場合などは時間外手当として計算されない場合があります。

時間外労働（残業）手当が支払われないからという理由が正当な理由になるかどうかです、これはハローワークの判断に委ねるしかないでしょう。（一応、特定受給資格者の範囲で労働契約の締結に際し明示された労働条件が事実と著しく相違したことにより離職した者、事業所の業務が法令に違反したため離職した者などがありますが、これらに該当するかどうか。）

就職祝金について質問があります
社会保険が付いてない雇用形態だと就職祝金は出ないのですか？
失業保険は残り３分の２以上あります。

就職祝金と言う名称の手当は存在しません。
よく就職祝金等と言われるのですが、就職促進給付の中に、再就職手当と就業手当があります。
再就職手当は１年以上の雇用見込みと雇用保険加入が必要条件です、それ以外は就業手当と言うことになります。

病気で働けない場合。病気を理由に会社を退職し、失業保険をもらっています。給付日数は120日で、あと1ヶ月で終わります。ですが、病気が治らず働くことができません。この場合、失業保険を延長してもらうことはでき
ますか？もしできない場合、何か他に方法はありますか？病気は精神的疾患です。

離職理由が自己都合でしょうか？会社都合でしょうか？
特定受給資格者及び特定理由離職者に該当するかしないかでも変わってきます。
詳しく書かれていないのでわからないですが、該当すれば最後の認定日に告げられるはずです。詳しくはハローワークでお尋ねになることをお勧めします

失業手当ての保険金を一括でもらえる方法しりませんか？
失業保険は申請後約９０日経ってからの支給なのは分かっているのですが、申請後の期間を短縮してもらう事も可能だと聞いたのですが本当でしょうか？
ただその事で支給額が通常の６０％くらいになると聞いたのですが本当でしょうか？
詳しい方・経験者・どなたでも結構なので教えてください

退職事由が「自己都合退職」の場合は、3ヶ月の「給付制限」が発生します。一方、「会社都合」による退職の場合は、給付制限期間が発生いたしませんので、自己都合退職に比し受給までの期間は大幅に短縮されます。このことによって「60％」の受給額になるということはありません。