失業保険について。制限期間終了後の最初の認定日に申告が必要。

教えてください！
今、失業保険を給付中なのですがバイトしたら受給出来なくなりますか？ちなみに後３４日受給日数が残っています。

バイトは禁止されていませんのでチャンとＨＷに申告すれば問題ありません。
ただ、黙ってやって発覚すると大きなペナルティーが待っていますのでそれは止めましょう。
参考までにアルバイトの規制を貼っておきます。
＜受給中のアルバイト・パート等に関すること＞
雇用保険法19条を分かりやすく書き換えたものです。
①週２０時間未満で１日４時間以上であれば認定日にバイトした日にち分だけの基本手当日額は支給されないが、後に繰り越され、その日数分は後でもらえる。この場合はバイト収入の金額は特に制限されない。
②週２０時間未満で１日４時間未満の場合でバイト日額から１295円を引いた額と、基本手当日額との「合計額」がバイト日額の８０％を超えないときは基本手当日額と基礎日数を乗じた金額が支給される。つまり通常通り支給される。
③前述の「合計額」がバイト賃金の８０％を超えるとき、超える額「超過額」を基本手当日額から引いた残りの額に基礎日数を乗じた額が支給される。
④前述の「超過額」が基本手当日額以上である場合は基礎日数分の基本手当ては支給されな
⑤週２０時間以上になれば就職とみなされる。 (再就職手当の対象となる）
再就職手当の支給対象にならない形態（１年を超える見込みが無い短期的な職業、雇用保険がない職業)についた場合に就業手当として基本手当日額の３０％の金額を就業日ごとに支給する。

失業保険がもらえるまで待つ「給付制限期間」中には、どれぐらい働いてもいいのでしょうか。
自己都合で退職したので、失業保険が貰えるようになるまで、３ヶ月間待たないといけません。

失業保険給付期間中は、
「週20時間以上勤務」
「長期の雇用(1年以上)が見込まれること」
「4週間以内に週4回、15日以上の勤務」
という条件に当てはまってしまうと
給付対象からはずされてしまうと聞きました。

この条件は、給付制限期間中でも同じなのでしょうか。
それとも、給付制限期間の３ヶ月の間は、生活のために一時的なバイトをするぐらいなら、
仮にそれが週５日のフルタイムであったとしても、特に制限は無いのでしょうか。

給付制限中の規制を貼っておきますので参考にして下さい。

＜給付制限期間中のアルバイト・パートに関すること＞
①週20時間未満であれば特に金額等に制限はない。制限期間終了後の最初の認定日に申告が必要。ただし週20時間以上の場合は就職扱いになる。この場合、給付制限期間中に終われば一旦就職とし、終われば退職として処理され、給付制限期間は延長されない。
注）ハローワークによっては月に14日以内という制限をつけるところがありますが基本は週20時間未満です。
②給付制限期間内に終わらないことが事前に分かっている場合は事前にＨＷに行って雇用保険一時停止の手続きを行う。終われば申告して再度申告して受給ができる。
この場合は給付制限期間は進行しているのですぐに受給することが可能。
③給付制限期間内に終わる予定が都合により超過してしまった場合はＨＷに相談して指示を受ける。その場合は過ぎた期間の給付制限は延長になる。
④２つ掛け持ちで20時間を超える場合の扱いは給付制限期間内ならＯＫだが、給付制限期間を過ぎると就職したとみなさる。（就職した場合と同じような働き方と見られる）
＊ハローワークによって解釈、判断が違う場合がありますから管轄のハローワークに確認が必要です。

失業保険について。。6月9日が認定日でﾊﾛｰﾜｰｸに行きます。。6月10日からｱﾙﾊﾞｲﾄとして働くのですが、問題なく失業保険をもらえますか??

雇用保険は後払いです
認定日前日までが認定の期間になります
６月８日までが今回支給
６月９日は次回認定日以降支給されます（原則です）

就労後は異なります。